用户中心

资讯 > CE视点

过程优化基础知识

作者:Vance J. VanDoren,CONTROL ENGINEERING 编辑顾问2006.07.20阅读 3691

  尽管“优化”常常被当作时髦用语,实际上它有着严密的数学原理作为基础。
  优化是一门获取最大价值的艺术,无论你是在寻找一双鞋的最佳交易价格,还是在最高效率工作点上进行催化裂化装置的操作。当可行的选择有限控制工程网版权所有,且每一项选择的代价又非常清晰时,优化工作会相对比较简单。然而,有些优化问题会涉及到数千个变量,这就需要精密复杂的数学分析了。
  不过,对于所有的优化问题,都有如下几个确定的相同步骤:
  ■  确定需要最小化的代价,或者需要最大化的效益;
  ■  确定那些对代价或效益影响最大的可调变量或独立参数
  ■  搜索最优解或最优参数,达到花费最低代价或者获取最高效益的目的。

单变量二次型代价函数
图1:在碟型卫星接收天线的定位问题中,代价函数(1)对
天线的实际仰角θ 与直指卫星方向的最优仰角 θoptimal 之间的
偏差进行了惩罚。由于其偏差进行了平方计算,因此上述代
价函数是一个二次函数。无论偏差是在正负哪个方向上增长,
其代价均以指数形式增加。该特殊的代价函数刚好只有一个
独立参数θ。因此在本图公式(2)中,当 C(θ)的导数为零时,
就取得了最优解。
局部极小点
图2:

当天空中存在多颗卫星,此时搜寻最强的卫星信号,
就会在优化问题中引入局部极小点的概念。这就像代价函数
C(θ)中存在一些“凹点”,而这些点分别对应于那些正好指
向信号较弱的卫星时的天线位置。在本例当中,由于局部极
小点的存在,无论是严格地从左到右还是从右到左的路径进
行搜索,优化算法都将在其找到具有真实最小代价的最大强
度信号前停止搜索。


  电视信号的优化
  本文以电视机的碟形卫星接收天线为例。当天线不断旋转,并逐渐偏离对准卫星的角度时,其接收到的卫星电视信号强度将以指数形式下降。该优化问题的代价函数可参见例图“单变量二次型代价函数”。本例中我们暂时假设仅有天线的仰角是可调的。
  只有极少情况下,我们知道卫星的位置,从而可以简单地旋转碟形卫星接收天线的角度,使其直接对准卫星,将代价函数减小为零,从而轻易解决该优化问题。但是,对于更为复杂的优化问题,试凑法将是更为通用的技术路线,其原因是:代价函数可能并不是明确已知的,抑或优化参数很难被解析地计算出来。
  事实上,只要我们能够推测出可行解控制工程网版权所有,并且对每个解的代价进行比较,那么上述试凑法的技术路线就是行之有效的。就碟形卫星接收天线而言,任何一个将碟形天线指向美国南部天空的角度都是合理的。每个角度所对应的代价可以使用某种仪表直接测量www.cechina.cn,当接收到的电视信号强度增加时,其发出的声音也随之变大。
  如果可以有效利用以前的结果,使得未来的估计更加精确,那么试凑法将变得更加有效。对于上述卫星天线的指向问题,相比于随机更改天线的指向,通过记录仪表此前各读数的相对音量,并将卫星天线的指向朝着音量更大的方向旋转,将更有效搜寻到信号更强的角度。从数学上来讲,上述过程相当于是梯度算法,本质上是将此前最好的解沿着代价函数的下坡方向移动,以达到取得最低代价的参数。
  复杂性
  另一方面,随机选取数百个可行参数,并对其进行评价以找到代价最低的参数也不失为一种有价值的方法。因为,我们可以基于如上数据在图上画出这些参数及其对应代价,得到一个经验代价函数图,而最优参数就可以直接由此图读出。

约束条件
图3:有时候,也许房子的屋檐会阻挡碟型卫星接收
天线的旋转,限制其仰角不能超过最大值θmax。在此
情况下,优化算法就因此受到了约束,只能考虑那些
小于θmax 的参数值,就如公式(3)中所显示的那样。
假设一颗高空飞翔的人造卫星所发出的信号最强,那
此时该问题的最优解就是:在屋檐这一约束允许下最
接近θoptimal的仰角,即θ =θmax。在石油化工装置上控制工程网版权所有,其
参数往往就在其约束条件的边界上取值,达到最优的
性能指标。
双变量二次型代价函数
图4:本例中,碟型卫星接收天线在其仰角旋转至θ
度的同时,也能将其方位角旋转至α 度。图中所示
的二次型代价函数(4),对两个方向上的偏差都进
行了惩罚。如约束条件(5)和(6)所示,房屋的
屋檐限制了天线的最大仰角不能大于θmaxwww.cechina.cn,而房屋
的侧墙又限制了天线的最大方位角不能大于αmax。
从数学上说,这将生成一个三维的、碗型的代价函
数曲面,并且最优解就位于该曲面的底部最低点,
而约束条件下的最佳可行解就位于该点一旁偏上的
位置。

双变量线性规划
图5:本例中,一根具有一定角
度的落水管为优化问题增加了一
个约束条件(10b),此处的常数
a,b,c 取决于落水管和碟型卫星
接收天线的几何特性。其它两项
约束条件与上面的例子相同,但
是代价函数被线性目标或效益函
数B(θ,α)所替代。如公式(7)所
示,该函数是所有参数的和,而
非平方误差的和。因为其目的是
最大化信号,而不是最小化较差
信号的代价。可行解越是接近斜
面的最高位置,其性能就越接近
最优。由约束条件所定




























































版权声明:版权归控制工程网所有,转载请注明出处!

频道推荐

关于我们

控制工程网 & CONTROL ENGINEERING China 全球工业控制、自动化和仪器仪表领域的先锋媒体

CE全球

联系我们

商务及广告合作
任小姐(北京)                 夏小姐(上海)
电话:010-82053688      电话:18616877918
rendongxue@cechina.cn      xiashuxian@cechina.cn
新闻投稿:王小姐

关注我们的微信

关于我们 | 网站地图 | 联系我们
© 2003-2018    经营许可编号:京ICP证120335号
公安机关备案号:110102002318  服务热线:010-82053688