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优化是一门获取最大价值的艺术，无论你是在寻找一双鞋的最佳交易价格，还是在最高效率工作点上进行催化裂化装置的操作。当可行的选择有限，且每一项选择的代价又非常清晰时，优化工作会相对比较简单。然而CONTROL ENGINEERING China版权所有，有些优化问题会涉及到数千个变量，这就需要精密复杂的数学分析了。
不过，对于所有的优化问题，都有如下几个确定的相同步骤：
■ 确定需要最小化的代价，或者需要最大化的效益；
■ 确定那些对代价或效益影响最大的可调变量或独立参数；
■ 搜索最优解或最优参数，达到花费最低代价或者获取最高效益的目的。
图1：在碟型卫星接收天线的定位问题中，代价函数（1）对
天线的实际仰角θ 与直指卫星方向的最优仰角 θoptimal 之间的
偏差进行了惩罚。由于其偏差进行了平方计算，因此上述代
价函数是一个二次函数。无论偏差是在正负哪个方向上增长，
其代价均以指数形式增加。该特殊的代价函数刚好只有一个
独立参数θ。因此在本图公式(2)中，当 C(θ)的导数为零时，
就取得了最优解。
图2：
当天空中存在多颗卫星，此时搜寻最强的卫星信号，
就会在优化问题中引入局部极小点的概念。这就像代价函数
C(θ)中存在一些“凹点”，而这些点分别对应于那些正好指
向信号较弱的卫星时的天线位置。在本例当中www.cechina.cn，由于局部极
小点的存在CONTROL ENGINEERING China版权所有，无论是严格地从左到右还是从右到左的路径进
行搜索，优化算法都将在其找到具有真实最小代价的最大强
度信号前停止搜索。
电视信号的优化
本文以电视机的碟形卫星接收天线为例。当天线不断旋转，并逐渐偏离对准卫星的角度时，其接收到的卫星电视信号强度将以指数形式下降。该优化问题的代价函数可参见例图“单变量二次型代价函数”。本例中我们暂时假设仅有天线的仰角是可调的。
只有极少情况下，我们知道卫星的位置，从而可以简单地旋转碟形卫星接收天线的角度，使其直接对准卫星，将代价函数减小为零，从而轻易解决该优化问题。但是，对于更为复杂的优化问题，试凑法将是更为通用的技术路线，其原因是：代价函数可能并不是明确已知的，抑或优化参数很难被解析地计算出来。
事实上，只要我们能够推测出可行解，并且对每个解的代价进行比较，那么上述试凑法的技术路线就是行之有效的。就碟形卫星接收天线而言，任何一个将碟形天线指向美国南部天空的角度都是合理的。每个角度所对应的代价可以使用某种仪表直接测量，当接收到的电视信号强度增加时，其发出的声音也随之变大。
如果可以有效利用以前的结果，使得未来的估计更加精确www.cechina.cn，那么试凑法将变得更加有效。对于上述卫星天线的指向问题，相比于随机更改天线的指向，通过记录仪表此前各读数的相对音量，并将卫星天线的指向朝着音量更大的方向旋转，将更有效搜寻到信号更强的角度。从数学上来讲，上述过程相当于是梯度算法，本质上是将此前最好的解沿着代价函数的下坡方向移动，以达到取得最低代价的参数。
复杂性
另一方面，随机选取数百个可行参数，并对其进行评价以找到代价最低的参数也不失为一种有价值的方法。因为，我们可以基于如上数据在图上画出这些参数及其对应代价，得到一个经验代价函数图，而最优参数就可以直接由此图读出。
图3：有时候，也许房子的屋檐会阻挡碟型卫星接收
天线的旋转，限制其仰角不能超过最大值θmax。在此
情况下，优化算法就因此受到了约束，只能考虑那些
小于θmax 的参数值，就如公式（3）中所显示的那样。
假设一颗高空飞翔的人造卫星所发出的信号最强，那
此时该问题的最优解就是：在屋檐这一约束允许下最
接近θoptimal的仰角，即θ =θmax。在石油化工装置上，其
参数往往就在其约束条件的边界上取值，达到最优的
性能指标。
图4：本例中，碟型卫星接收天线在其仰角旋转至θ
度的同时，也能将其方位角旋转至α 度。图中所示
的二次型代价函数（4），对两个方向上的偏差都进
行了惩罚。如约束条件（5）和（6）所示，房屋的
屋檐限制了天线的最大仰角不能大于θmax，而房屋
的侧墙又限制了天线的最大方位角不能大于αmax。
从数学上说，这将生成一个三维的、碗型的代价函
数曲面，并且最优解就位于该曲面的底部最低点，
而约束条件下的最佳可行解就位于该点一旁偏上的
位置。
图5：本例中，一根具有一定角
度的落水管为优化问题增加了一
个约束条件（10b），此处的常数
aCONTROL ENGINEERING China版权所有,b,c 取决于落水管和碟型卫星
接收天线的几何特性。其它两项
约束条件与上面的例子相同，但
是代价函数被线性目标或效益函
数B(θ,α)所替代。如公式（7）所
示，该函数是所有参数的和，而
非平方误差的和。因为其目的是
最大化信号，而不是最小化较差
信号的代价。可行解越是接近斜
面的最高位置，其性能就越接近
最优。由约束条件所定
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