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频域分析解释

作者:Vance VanDoren,CONTROL ENGINEERING 编辑顾问2006.03.24阅读 20372

控制工程师经常想利用正弦波进行分析、理解,以改进反馈控制系统。
  预测过程的未来性能,对于分析反馈控制系统是非常关键的。如果预先知道受控过程会如何依据于控制器的作用而变化,那么就可以让控制器选择正确的调节过程,使得过程变量趋近于设定值。
  因为对线性系统而言,“由两项控制效能结合后,同时作用于受控过程而产生的过程变量值”,在数值上等于“将两项控制效能分别作用于受控过程而各自产生的过程变量值之和”,所以该类过程特别具有可预估性。通常CONTROL ENGINEERING China版权所有,一个线性过程也表现出一个稳态的增益常数K。对此可以这样理解,当控制作用为零时,过程值为B,而当控制作用为X时,过程值将稳定在Y=KX+B。这种函数关系如果以X、Y坐标轴的方式来表示,就是一根直线(因此表达为“线性过程”)。

用一个玩具来说明频域分析的方法
图1:我们将用一个玩具来说明频域分析的方法,而
该玩具包含一个用手柄安装的弹簧来悬挂的重物。如
果或多或少以一种正弦波的方式来移动手柄,那么,
重物也会以相同的频率开始振荡,尽管此时重物的振
荡与手柄的移动并不同步。

  线性过程对于“非恒定”的输入
作用,也是以一种可预估的方式来产生响应的。最为重要的是,系统对于正弦波的输入信号,也总是产生正弦波的输出信号。事实上,如果控制器的输入信号碰巧是频率为ω的正弦波,那么经由过程对象后,系统产生的过程输出信号也是同频率的正弦波。尽管实际的控制器很少产生纯正的正弦波控制信号控制工程网版权所有,但是这一现象却成为运用频域法对过程对象进行特性分析的理论基础。
  线性过程举例
  一个频域分析的简例可以通过图1:一个简单线性过程中小孩的玩具来加以说明。该线性系统包含一个用手柄安装的弹簧来悬挂的重物。小孩通过上下移动手柄来控制重物的位置。
  任何玩过这种游戏的人都知道,如果或多或少以一种正弦波的方式来移动手柄,那么,重物也会以相同的频率开始振荡,尽管此时重物的振荡与手柄的移动并不同步。只有在弹簧无法充分伸长的情况下,重物与弹簧会同步运动且以相对较低的频率动作。
  随着频率愈来愈高,重物振荡的相位可能更加超前于手柄的相位,也可能更加滞后。在过程对象的固有频率点上,重物振荡的高度将达到最高。过程对象的固有频率是由重物的质量及弹簧的强度系数来决定的。

Bode图
图2:这张Bode图显示出,一个频率为ω 弧度/ 秒的正弦波信号www.cechina.cn,在其经由线性过程对象以后,是如何以K(ω)为系数来改变振幅,以及如何以Φ(ω)为系数来形成相位滞后的。以上两项系数在图谱中,通常以对数坐标的形式表示。对于不同的过程对象,该图的形状会随之改变,但是,当ω 值趋向于0时,K(ω)总是达到一个稳态的增益。当ω值趋向于极高频时,K(ω)增益通常趋于0。这种Bode图可由“以经验为主”的方式推导出来,具体的说,即可以在不同的频率上,以正弦波信号模拟对过程对象的影响作用来得到该图,或者通过对过程对象的物理特性的分析来得到该图,例如在以上例子中,弹簧的系数和重物的质量。

  在固有频率之上控制工程网版权所有,重物振荡的幅度将趋于减少,相位将更加滞后(换言之,重物振荡的幅度将越来越少,而其相位滞后将越来越大)。在极高频的情况下,重物仅仅轻微移动,而与手柄的运动方向恰恰相反。
  Bode图
  所有的线性过程对象都表现出类似的特性。这些过程对象均将正弦波的输入转换为同频率的正弦波的输出,不同的是,输出与输入的振幅和相位有所改变。振幅和相位的变化量的大小取决于过程对象的相位滞后与增益大小。增益可以定义为“经由过程对象放大后,输出正弦波振幅与输入正弦波振幅之间的比例系数”,而相位滞后可以定义为“输出正弦波与输入正弦波相比较,输出信号滞后的度数”。
  与稳态增益K值不同的是,“过程对象的增益和相位滞后”将依据于输入正弦波信号的频率而改变。在上例中,弹簧-重物对象不会大幅度的改变低频正弦波输入信号的振幅。这就是说控制工程网版权所有,该对象仅有一个低频增益系数。当信号频率靠近过程对象的固有频率时,由于其输出信号的振幅要大于输入信号的振幅,因此,其增益系数要大于上述低频下的系数。而当上例中的玩具被快速摇动时,由于重物几乎无法起振,因此该过程对象的高频增益可以认为是零。
  过程对象的相位滞后是一个例外的因素。由于当手柄移动得非常慢时,重物与手柄同步振荡,所以,在以上的例子中,相位滞后从接近于零的低频段输入信号就开始了。在高频输入信号时,相位滞后为“-180度”,也就是重物与手柄以相反的方向运动(因此,我们常常用‘滞后180度’来描述这类两者反向运动的状况)。

三个独立的正弦波图
图3:现在假设船以频率w、振幅A产生振荡;跷跷板以频率3w、振幅A/3产生振荡;小孩的玩具以




















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