最简单的数学模型就是一个等式，将一个变量和另外一个变量连接起来。 精心构造的数学模型，用可量化的术语描述过程的行为。 例如，爱因斯坦著名的公式：E=mc2控制工程网版权所有，描述的就是将物质转换为能量的过程。 该公式用光速（c）来描述给定质量（m）的灭失，可以产生多少能量（E）。
　　因为包含更多的变量和更具体的数学关系，所以过程越复杂，模型也就越复杂，但是所有的模型都可以分解为4个基本的部分：输入变量、输出变量、常数和运算符。 输出变量为未知数，也就是设计的模型从已知输入的值中导出的数值。 在爱因斯坦质能方程中，“E”代表输出CONTROL ENGINEERING China版权所有，“m”代表输入，因此可以通过测量物体的质量来预测因为质量灭失而产生的能量。
　　“c”则是爱因斯坦公式中的常量。 无论灭失的是何种物质，它的值总是等于真空环境下的光速。 常数一般代表着物理、化学、经济的基本法则或其它主导过程行为的第一准则。 机械过程模型也许包括摩擦系数，这是因为考虑了材料的特性；电气过程模型也许包括电路的电阻、电容和电导。
　　运算符则定义从输入和常数来计算输出值所需要的数学处理。 它们可以像爱因斯坦公式中的乘法和开方一样简单， 也可以像拉普拉斯变化和统计分布一样复杂。
　　工业应用
　　以图1所示的酿造炉为例。 根据傅里叶定律，热量从锅炉传递到容器，传输速率正比于两者之间的温差。 从数学的角度，这种现象可以用如下公式1所示的过程模型或输入/输出（I/0）关系来表示。

图1：在工业酿造炉中的酿造物，被其下方的加热炉加热。当酿造炉处于冷态时，如果加热炉点火，那么酿造炉的温度会以不断增加的速率上升，直到温度上升到锅炉的温度。

　　输入TIN和输出TOUT分别是任何给定时间点锅炉和容器的温度，而则是同一时刻容器温度的微分或变化速率。
　　常比例系数“k”，代表当锅炉温度超过容器温度1度时，容器温度增长的速率。该值由很多因素确定，包括容器的形状、构造、容器材料的热力学特性、以及环境温度。 最能代表某一容器行为特性的“k”值，可以从热力学第一定律中推导出来，或者通过观测过程来测量经验值。
　　使用模型
　　为过程创建精确的模型，就迈向成功的第一步。 对控制工程师来讲，真正的挑战是设计一个控制器，能够充分利用模型的功能，一旦在过程输入中加载数值，就可以预测控制的输出。
　　穷举法是反复实验法。 控制器预测下一步控制活动，并将其附加在模型上，然后观察是否能够得到期望的输出。如果没有得到期望的输出，控制器就会继续执行前述动作，直到符合期望值为止。 由于这种研究工作可以用计算机来实现，因此在将其最终方案应用到实际过程之前，控制器可以尝试成千上万次控制活动。
　　另外一方面，完全的穷举法无法实现。 更智能的方法则是根据前一次实验的结果来选择下一次尝试控制工程网版权所有，这样就可以逐步接近正确的选择。
　　一种更简单的方式是使用模型，比如公式1www.cechina.cn，这样就可以从数学上解决或倒推。这样事情就简单多了，将期望的输出值输入到反模型中，直接计算出获得期望输出所需要的输入值。不幸的是，这种技术有时可能会导致计算结果数值的不稳定，而原因却很难查明。
　　隐式技术
　　上面所述，是一种显式的方法，将过程模型整合到控制器的运行中。隐式技术则要常见的多，它仅仅将模型用于控制器的设计中。
　　例如，比例、积分和微分（PID）整定规则将模型的常数转化成合适的数值，用于控制器PID参数的设置。如果一个过程比较敏感，则模型对控制器控制活动的反应就会非常灵敏，因此，大多数的整定规则就会采用较保守的调节参数。相反，反应缓慢的过程则会使用较为激进的调节参数。
　　控制器从不使用模型做直接运算，但是模型预测过程如何响应控制行为的能力，则被隐式的整合到控制器的整定中。
　　更复杂的控制器设计技术，诸如传统上学校里面教授的技术——超前/滞后、极点配置、设定值追踪等等，也是隐式的使用过程模型来识别过程的行为。但是，这些技术并没有将模型常数嵌入到固定的整定规则中，而是使用模型的动态特性来生产控制器，以满足闭环性能标准。

　　过程建模
　　有很多种技术可以用于确定数学模型，以便精确的描述过程输入/输出（I/O）之间的关系，这就是所谓的建模或过程识别。也许最常用的技术是逐步测试，包括阶跃升高输入、保持稳定、然后记录输出值。

图2 ：该图显示的是过程阶跃响应的输出测量值随时间的变化。通过对该结果进行分析，有助于确定
合适的过程模型。

　　利用这些输出测量值和时间，绘图可得过程阶跃响应的趋势图，可对其进行分析，以便确定过程模型的适当形式。一阶延迟阶跃响应的形状是所有过程模型的特性（见图2）。在阶跃响应的任何点，作该点的切线，可以得出系数“k”。如果切线的斜率是A/B，锅炉和容器之间的温度差是“C”，那k就是公式2的结果：k = A/BC
　　如果过程由公式1确定，那k的值就由公式2计算得到，无论选择哪个点做切线，k值都是一样的。但是，如果在图上选择不同点获得的切线的值变化很大，那公式1就不是一个很好的过程模型。这是一个验证方法，可以用于检查推荐的过程模型是否能够精确的表示过程行为。

　　其他应用
　　除了在控制器的设计等方面发挥作用外，过程模型还有更多的用处。它们可以被用于创建虚拟传感器CONTROL ENGINEERING China版权所有，来测量一系列的参数，并通过计算获得其它系列参数的值。在调试之前，如果需要测试目标控制器，那就可以用这些传感器来仿真过程活动。
　　也许，对于过程模型来讲，最有价值的应用（至少在化工和制药工业）可能就是约束管理。约束就是决定过程变量最大允许值的物理限值，比如水箱的容量、反应器的温度限值、管道的最大流速等等。
　　一般情况下，化学过程的运行越靠近物理极限，就越能获得最大的收益。控制器的任务就是将过程参数维持在高效率区间，但是不能超出相应的约束。一个精确的过程模型，允许控制器提前确定过程参数的发展方向，并采取预防性措施避免超出约束的限制。如果没有过程模型提供的预测，控制器不得不将过程参数维持在远离限值（经济效益较低）的区域，以便维持安全裕量。
　　过程优化工作与此类似。在过程的不同元素竞争使用资源时，比如电力、蒸汽或原材料，整体过程模型能够证明不同组合定量配比的最佳经济效益。控制器能够提前确定哪种定量配比策略具有最大的经济效益，直接实施，无需浪费时间和资源来预测。
　　“在石油化工应用中，如果需要在调试之前测试目标控制器、进行约束管理，那么就可以使用过程模型来虚拟传感器、仿真过程行为。”（作者：Vance VanDoren）