最简单的数学模型就是一个等式，将一个变量和另外一个变量连接起来。 精心构造的数学模型，用可量化的术语描述过程的行为。 例如，爱因斯坦著名的公式：E=mc2，描述的就是将物质转换为能量的过程。 该公式用光速（c）来描述给定质量（m）的灭失，可以产生多少能量（E）。
　　因为包含更多的变量和更具体的数学关系，所以过程越复杂，模型也就越复杂，但是所有的模型都可以分解为4个基本的部分：输入变量、输出变量、常数和运算符。 输出变量为未知数，也就是设计的模型从已知输入的值中导出的数值。 在爱因斯坦质能方程中，“E”代表输出，“m”代表输入，因此可以通过测量物体的质量来预测因为质量灭失而产生的能量。
　　“c”则是爱因斯坦公式中的常量。 无论灭失的是何种物质，它的值总是等于真空环境下的光速。 常数一般代表着物理、化学、经济的基本法则或其它主导过程行为的第一准则。 机械过程模型也许包括摩擦系数www.cechina.cn，这是因为考虑了材料的特性；电气过程模型也许包括电路的电阻、电容和电导。
　　运算符则定义从输入和常数来计算输出值所需要的数学处理。 它们可以像爱因斯坦公式中的乘法和开方一样简单， 也可以像拉普拉斯变化和统计分布一样复杂。
　　工业应用
　　以图1所示的酿造炉为例。 根据傅里叶定律，热量从锅炉传递到容器，传输速率正比于两者之间的温差。 从数学的角度，这种现象可以用如下公式1所示的过程模型或输入/输出（I/0）关系来表示。

图1：在工业酿造炉中的酿造物，被其下方的加热炉加热。当酿造炉处于冷态时，如果加热炉点火，那么酿造炉的温度会以不断增加的速率上升，直到温度上升到锅炉的温度。

　　输入TIN和输出TOUT分别是任何给定时间点锅炉和容器的温度，而则是同一时刻容器温度的微分或变化速率。
　　常比例系数“k”，代表当锅炉温度超过容器温度1度时，容器温度增长的速率。该值由很多因素确定，包括容器的形状、构造、容器材料的热力学特性、以及环境温度。 最能代表某一容器行为特性的“k”值，可以从热力学第一定律中推导出来，或者通过观测过程来测量经验值。
　　使用模型
　　为过程创建精确的模型，就迈向成功的第一步。 对控制工程师来讲，真正的挑战是设计一个控制器，能够充分利用模型的功能，一旦在过程输入中加载数值，就可以预测控制的输出。
　　穷举法是反复实验法。 控制器预测下一步控制活动，并将其附加在模型上，然后观察是否能够得到期望的输出。如果没有得到期望的输出，控制器就会继续执行前述动作，直到符合期望值为止。 由于这种研究工作可以用计算机来实现，因此在将其最终方案应用到实际过程之前，控制器可以尝试成千上万次控制活动。
　　另外一方面，完全的穷举法无法实现。 更智能的方法则是根据前一次实验的结果来选择下一次尝试，这样就可以逐步接近正确的选择。
　　一种更简单的方式是使用模型，比如公式1，这样就可以从数学上解决或倒推。这样事情就简单多了www.cechina.cn，将期望的输出值输入到反模型中，直接计算出获得期望输出所需要的输入值。不幸的是，这种技术有时可能会导致计算结果数值的不稳定，而原因却很难查明。
　　隐式技术
　　上面所述，是一种显式的方法，将过程模型整合到控制器的运行中。隐式技术则要常见的多，它仅仅将模型用于控制器的设计中。
　　例如，比例、积分和微分（PID）整定规则将模型的常数转化成合适的数值，用于控制器PID参数的设置。如果一个过程比较敏感，则模型对控制器控制活动的反应就会非常灵敏，因此，大多数的整定规则就会采用较保守的调节参数。相反，反应缓慢的过程则会使用较为激进的调节参数。
　　控制器从不使用模型做直接运算，但是模型预测过程如何响应控制行为的能力，则被隐式的整合到控制器的整定中。
　　更复杂的控制器设计技术，诸如传统上学校里面教授的技术——超前/滞后、极点配置、设定值追踪等等，也是隐式的使用过程模型来识别过程的行为。但是，这些技术并没有将模型常数嵌入到固定的整定规则中www.cechina.cn，而是使用模型的动态特性来生产控制器，以满足闭环性能标准。

　　过程建模
　　有很多种技术可以用于确定数学模型，以便精确的描述过程输入/输出（I/O）之间的关系，这就是所谓的建模或过程识别。也许最常用的技术是逐步测试，包括阶跃升高输入、保持稳定、然后记录输出值。

图2 ：该图显示的是过程阶跃响应的输出测量值随时间的变化。通过对该结果进行分析，有助于确定
合适的过程模型。

　　利用这些输出测量值和时间，绘图可得过程阶跃响应的趋势图，可对其进行分析，以便确定过程模型的适当形式。一阶延迟阶跃响应的形状是所有过程模型的特性（见图2）。在阶跃响应的任何点，作该点的切线，可以得出系数“k”。如果切线的斜率是A/B，锅炉和容器之间的温度差是“C”，那k就是公式2的结果：k = A/BC
　　如果过程由公式1确定，那k的值就由公式2计算得到，无论选择哪个点做切线，k值都是一样的。但是，如果在图上选择不同点获得的切线的值变化很大，那公式1就不是一个很好的过程模型。这是一个验证方法，可以用于检查推荐的过程模型是否能够精确的表示过程行为。

　　其他应用
　　除了在控制器的设计等方面发挥作用外，过程模型还有更多的用处。它们可以被用于创建虚拟传感器，来测量一系列的参数，并通过计算获得其它系列参数的值。在调试之前，如果需要测试目标控制器，那就可以用这些传感器来仿真过程活动。
　　也许，对于过程模型来讲，最有价值的应用（至少在化工和制药工业）可能就是约束管理。约束就是决定过程变量最大允许值的物理限值www.cechina.cn，比如水箱的容量、反应器的温度限值、管道的最大流速等等。
　　一般情况下，化学过程的运行越靠近物理极限控制工程网版权所有，就越能获得最大的收益。控制器的任务就是将过程参数维持在高效率区间，但是不能超出相应的约束。一个精确的过程模型，允许控制器提前确定过程参数的发展方向，并采取预防性措施避免超出约束的限制。如果没有过程模型提供的预测，控制器不得不将过程参数维持在远离限值（经济效益较低）的区域，以便维持安全裕量。
　　过程优化工作与此类似。在过程的不同元素竞争使用资源时，比如电力、蒸汽或原材料，整体过程模型能够证明不同组合定量配比的最佳经济效益。控制器能够提前确定哪种定量配比策略具有最大的经济效益，直接实施，无需浪费时间和资源来预测。
　　“在石油化工应用中，如果需要在调试之前测试目标控制器、进行约束管理，那么就可以使用过程模型来虚拟传感器、仿真过程行为。”（作者：Vance VanDoren）