控制机器人系统的运动通常要求了解终端受动物体的方位（通常指工具提示或者受控参照系或者受控坐标系统）与物理控制的用于操作终端受动物体的执行器或者电机方位（通常指受控参照系或者受控坐标系统）之间的关系。这些知识可以大体表征机器人系统的运动学结构，通常用运动学方程表示。一些高性能运动控制器具有整理这些方程并得到相对运动轨迹的能力，确保机器人系统的实时位置控制。本文中，将介绍2种特定机器人系统的运动学方程。

　　为什么使用运动学？3自由度起重机
　　3自由度（DOF）起重机是一个相对简单的机器人系统，用户可以控制起重距离、起重机回转角度和起重机的倾角（见图1）。通常一台起重机还有第四个自由度——起重物体的悬挂高度，这里不考虑此自由度的作用，并不会影响分析结果的普适性。

　　图1  一台如图所示的三自由度起重机，允许用户控制起重距离、回转角和倾斜角，
但是不允许起重机的工作端作直线运动。资料来源：www.rki-us.com

　　通常，起重机的起重臂旋转路径就像一个圆弧，而且，如果起重臂倾斜角增加，终端受动物体（起重机末端的起重物）就会沿着圆弧路径向上。这些自然形成的轨迹对于某些环境是可以接受的，然而，一旦用户希望起重物体的运动路径是由很多线段组成的话，该怎么办？或者是在任意三个方向上的随意形状，又该如何？例如起重物体是某些测量设备或者图像采集系统。简单的例子是将起重物体沿着方形轨迹移动，这对于一些系统是很有用的。
　　那些学习过坐标几何学的人应该对起重机的受控坐标系统很熟悉——通常就是球坐标系。空间中的一个点可以用球坐标系中的三个参数来表征：距离原点的距离、x-y平面上距离x轴的方位角θ（0 – 2π区间）和与z周的夹角θ（0 – π区间）。球坐标系的图例如图2所示。

      图2  那些学习过坐标几何学的人应该对起重机的受控坐标系统很熟悉，通常就是球坐标系。

　　沿着线段作移动，我们希望在标准3D笛卡尔坐标系中工作。笛卡尔坐标系中的一个点由(x控制工程网版权所有, ywww.cechina.cn, z)表征，从直观上说，这个坐标系更便于进行线段位移控制。例如，方形的运动轨迹由4条线段组成，线段运动就是笛卡尔坐标系中最基本的运动模式。问题转化为：我们如何在这两种坐标系统进行转换。答案是运动方程。运动方程可以将笛卡尔坐标系(x控制工程网版权所有, ywww.cechina.cn, z)与起重机球坐标系(r控制工程网版权所有, θ, Φ)联系在一起。
　　在进一步探讨之前，让我们快速地判断一下，为什么这些方程是必要的。如果用户想要在笛卡尔坐标系下控制运动路径，他/她就需要确定一条由一系列(x控制工程网版权所有, ywww.cechina.cn, z) 坐标位置组成的轨迹。当使用运动控制器时，对于很多种类的运动，明确地指明运动轨迹是没有必要的。运动控制通常产生一个运动轮廓（一系列(x控制工程网版权所有, ywww.cechina.cn, z)坐标位置）用于控制运动，例如点到点运动就意味着笛卡尔坐标系下的直线运动。如果我们知道受动物体的目标(x控制工程网版权所有, ywww.cechina.cn, z)位置，然后就可以反推运动方程，运动控制器就可以计算出如何控制实际的起重机（包括起重臂长度、倾斜角和回转角——(r控制工程网版权所有, θ, Φ)）
　　前向运动方程更多地用于初次校准。他们可以用于测量反馈位置，并将 (r控制工程网版权所有, θ, Φ) 结果转换为用户更加关心的(x控制工程网版权所有, ywww.cechina.cn, z)坐标。这个过程也可以用于确定安装位置，和用于将任意位置的起重机坐标初始化为相对的(x控制工程网版权所有, ywww.cechina.cn, z)坐标。
　　由此可见运动方程的必要性，现在就该讨论如何解运动方程了。先从反推运动学方程开始CONTROL ENGINEERING China版权所有，我们希望得到起重机的(r控制工程网版权所有, θ, Φ)坐标：

　　实际上依靠对球坐标系/笛卡尔坐标系的观察就可以解这个等式，使用一些三角公式，可以得到如下等式：

　　观察上面第三个等式，Φ是由关于r的等式表述的，而r又可由第一个等式中的(x控制工程网版权所有, ywww.cechina.cn, z)解出。
　　前向运动方程的形式类似：

　　通过观察，这几个方程同样可以轻松解出：

　　更复杂的例子——6自由度Stewart六脚平台
　　Stewart六脚平台在很多场合都有应用，包括自动检测、机器人手术、人造卫星和望远镜定位以及机械仿真等等。六脚包括6个独立的受控执行器（长度），在一端汇聚到一个固定的基座CONTROL ENGINEERING China版权所有，另一端与一平面平台连接，允许6个自由度，(α (roll),  (pitch), γ (yaw), x控制工程网版权所有, ywww.cechina.cn, z)。几何学实例如图3所示。

　　图3  Stewart六轴平台在很多场合都有应用，包括自动检测、机器人手术、
人造卫星和望远镜定位以及机械仿真等等。来源: ACS Motion Control

　　对于此系统，反推运动学方程可以告诉我们：对于给定的(α, , γ, x控制工程网版权所有, ywww.cechina.cn, z)，可以知道执行器的长度(l1, l2, l3, l4, l5, l6)是多少，还可以知道姿态（P）。前